"matrix" = Abbildungsmatrix und Scherung
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matrix {< , , >}
Matrizen und affine Abbildungen
(hier speziell: Scherung)
Das "matrix"-Schlüsselwort kann dazu benutzt werden
explizit die Transformationsmatrix für Objekte oder Texturen
festzulegen.
Der Syntax des Schlüsselwortes ist folgender:
matrix <m00, m01, m02,
m10, m11, m12,
m20, m21, m22,
m30, m31, m32> |
wobei die Zahlen mij
beliebige Kommazahlen- Ausdrücke ("float expressions")
sein dürfen, welche die Elemente der ersten 3 Spalten einer 4x4-Martrix darstellen,
deren 4. Spalte hierbei fest als <0,0,0,1> definiert ist.
Ein Punkt P1(x1/y1/z1)
wird in einen Punkt P2(x2/y2/z2)
transformiert, wobei gilt:
x2
= m00*x1
+ m10*y1
+ m20*z1
+ m30
y2 = m01*x1
+ m11*y1
+ m21*z1
+ m31
z2 = m02*x1
+ m12*y1
+ m22*z1
+ m32
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Hier einige Beispiele:
1) Matrix der identischen Abbildung:
matrix < 1, 0, 0,
0, 1, 0,
0, 0, 1,
0, 0, 0 > |
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2) Diese Matrix bewirkt eine Parallel-Verschiebung um den Vektor <2,3,4>:
matrix < 1, 0, 0,
0, 1, 0,
0, 0, 1,
2, 3, 4 > |
Dasselbe, nur wesentlich rationeller u. anschaulicher, beschreibt der Befehl:
translate< 2, 3, 4>. |
3) Drehung um die y-Achse mit einen Winkel Alpha (in Grad) durch die folgende Matrix:
(Besonderheit: sin und cos benötigen in POV-Ray das Winkel-Argument in Radians!)
#declare A = radians(Alpha);
matrix<cos(A), 0, sin(A),
0 , 1, 0 ,
-sin(A), 0, cos(A),
0 , 0, 0 > |
Drehung um die y-Achse um 30°
(sin30° = 0.5; cos30° = 0.886):
matrix <0.886, 0, 0.5,
0 , 1, 0,
-0.5 , 0, 0.886,
0 , 0, 0 > |
Dasselbe, nur ebenfalls rationeller und anschaulicher, beschreibt
der bekannte Befehl: rotate< 0, ß, 0> .
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4) Die folgende Matrix bewirkt eine zentrische Streckung um den
Streckungsfaktor k = 3 mit dem Ursprung O(0/0/0) als Zentrum:
matrix < 3, 0, 0,
0, 3, 0,
0, 0, 3,
0, 0, 0 > |
Auch diese Abbildung ist mittels "scale< 3, 3, 3>"
oder einfacher durch "scale 3" leichter und
anschaulicher zu erreichen.
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Diese Beispiele zeigen, daß sich
mit "matrix" alle einfachen Abbildung erreichen lassen.
Für gewöhnlich wird man für einfachere Transformationen
(Verschiebung, Skalierung = zentrische Streckung, Drehung) keine
Transformationsmatrix verwenden, da sie die Abbildung mit
größerem Aufwand beschreibt und schwerer vorzustellen ist. Es
gibt jedoch einen interessanten Aspekt des Matrizenbefehls:
Er erlaubt allgemeinere affine Abbildungen, wie z.B. die
Scherung (shering), welche auf andere Weise nicht zu erreichen sind.
Die folgende Matrix verursacht eine Scherung eines Objekts oder
einer Textur längs der y-Achse:
matrix < 1, 1, 0,
0, 1, 0,
0, 0, 1,
0, 0, 0 > |
Eine Scherung längs der x-Richtung um 30° bewirkt: |
matrix< 1 , 0, 0,
0.5, 1, 0,
0 , 0, 1,
0 , 0, 0 > |
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Hintereinander-Ausfühung verschiedener Abbildungen sind bei Matrizen selten
optisch leicht zu trennen. Die folgende Matrix mag dies verdeutlichen. Sie rotiert um die y-Achse
um 30° und schert längs der y-Achse und verschiebt parallel in y-Richtung:
matrix< 0.886, 0.5, 0.5 ,
0 , 1 , 0 ,
0 , 0 , 0.886,
0 , 1.5, 0 > |
Es ist daher empfehlenswert solche wenig durch- schaubare Abbildungsanhäufungen,
sofern man wenig Routine besitzt, möglichst klassisch, d.h. getrennt abzuhandeln:
rotate<0,30,0>
//Scherung in y-Richtung:
matrix<1, 0.5, 0,
0, 1 , 0,
0, 0 , 1,
0, 0 , 0 >
translate<0,1.5,0> |
Diese Befehlsfolge bewirkt dasselbe.
Streckungen mit Linearer Algebra
Die folgenden Abbildungen in Raum lassen sich mittels Abbildungsmatrizen in Form von
einfachen 3x3-Matrizen mathematisch beschreiben. Dabei sind ausschließlich die Diagonalelemente ungleich Null.
Diese lassen sich in POVRAY sowohl mit dem Kommando
"matrix<...>" als auch mit dem einfacheren Befehl "scale< ...>" realisieren.
Zentrische Streckung bzgl. Ursprung(0/0/0)
(gleicher Faktor k in alle Richtungen)
Abbildungsmatrix A =
matrix <k, 0, 0,
0, k, 0,
0, 0, k,
0, 0, 0 > |
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kurz: "
scale k " oder "
scale<k,k,k>"
Parallel-Streckung
(nur in eine Richtung bzgl. Koordinatenebene, sonst konstant),
Abbildungsmatrix A =
matrix <k, 0, 0,
0, 1, 0,
0, 0, 1,
0, 0, 0 > |
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kurz: "
scale<k,1,1>"
Euler-Affinität
(in jede Richtung bzgl. Koordinatenebenen mit anderem Faktor)
Abbildungsmatrix A =
matrix <p, 0, 0,
0, q, 0,
0, 0, r,
0, 0, 0 > |
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kurz: "
scale<p,q,r>"
Weiterführende Literatur:
"Mathematik Sekundarstufe II - Analytische Geometrie und lineare Algebra - Erweiterte Ausgabe "
diverse Verfasser, Cornelsen Verlag, Berlin, 1993, ISBN 3-590-12319-2
(Befaßt sich leider nur mit 2dimensionalen affinen Abbildungen)
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Hinweis:
"matrix" kann sowohl auf Körper, als auch auf andere Objekte wie Texturen("texture"),
Farbmuster ("pigment"), scheinbare Oberflächenverformungen ("normal") angewandt werden.
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